72.反常积分系列之五(2022-06-18)

今天继续来看反常积分的题目,从今天开始,我们要开始学含参反常积分的问题,这已经是最近几年的重要考查方向。含参,顾名思义,即为含有参数的问题。这类题一般是两种提法:1.已知所给反常积分的敛散性,求参数的取值范围;2.根据参数的取值范围讨论反常积分的敛散性。这

72.反常积分系列之五(2022-06-18)

  

今天继续来看反常积分的题目,从今天开始,我们要开始学含参反常积分的问题,这已经是最近几年的重要考查方向。

  

含参,顾名思义,即为含有参数的问题。这类题一般是两种提法:

  

1.已知所给反常积分的敛散性,求参数的取值范围;

  

2.根据参数的取值范围讨论反常积分的敛散性。

  

这两种提法,明显第二种提法要难的多,我们还是老规矩,从简单到复杂,先来看看第一种提法的问题。

  

题目如下:

  

  

相信这个题目,很多同学都做过,这也是过去的真题。我们从最简单的入手,来分析第一种提法的相关模式。

  

这类题目往往具有很强的综合性,经常会出现两类反常积分同时出现的情况。本题就是如此,x=0点将会导致反常积分的被积函数无界,上限正无穷是标准的第一类反常积分。对于此种问题,常规的做法就是拆开来做,分两类讨论。

  

  

对于这类问题,拆开是必要的。拆开的点,是可以任选的。可以在x=1拆,也可以在x=2拆,都是可以接受的。

  

这个问题现在来看,难度不大,只要能记清楚两类反常积分的判别模式与方法,可以顺利得到答案。

  

含参的后续题目,会越来越有难度。

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